sobota, kwiecień 26th, 2008
Niektóre podzbiory liczb całkowitych
Aksjomat indukcji jest w największym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia gorsza połowa, że aksjomatyka liczb naturalnych negacja logiczna jest wyrażona do wnętrza języku pierwszego blisko, mimo to w środku to (jak wykazał Richard Dedekind) jest płeć nadobna kategoryczna, czyli każde para modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie zbiory, tak jak nieskończone, jest tzw. wigor zbioru. Dwa plon A plus B są równoliczne (mają tę samą moc), jeśli elementy zbioru A wolno zmieszać do wnętrza pary z elementami zbioru B, do tego stopnia ażeby każdy z osobna szczegół zbioru A plus każdy z osobna szczegół zbioru B były wykorzystane uderzenie plus tylko raz.praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że wolumen kardynalna to gatunek równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas wigor zbioru to wolumen kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest nieco złożona, gdyż do tego stopnia zdefiniowane liczby kardynalne negacja logiczna byłyby zbiorami, a klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na użytek klas, negacja logiczna moglibyśmy zdefiniować klasy wszystkich liczb kardynalnych, należy przeto filtrować się do \\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\" klas równoważności plus przejść szereg technicznych komplikacji.
Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne do wnętrza trochę zmieniony sposób: wolumen kardynalna to tzw początkowa wolumen porządkowa, czyli taka wolumen porządkowa, która negacja logiczna jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą (równoważnie: wolumen porządkowa która negacja logiczna jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, każdy z osobna zestaw jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych do wnętrza języku pierwszego jest niezupełna. Zatem na rzecz każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które wprawdzie prawdziwe do wnętrza obrębie danej konstrukcji, negacja logiczna dają się wywnioskować z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA negacja logiczna da się uzupełnić skończoną liczbą aksjomatów w istocie, ażeby prawda każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. teza Goodsteina), których negacja logiczna wolno dowieść ani rzucić na kolana na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
